原子弹的临界质量
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1938年，Fritz Strassmann和Otto Hahn用中子轰击铀，并获得了元素钡。因为这两个元素在周期表中相距太远，所以当时他们无法理解这一结果。 1938年12月，Lise Meitner和她的侄子Otto Frisch认识到，中子会分裂铀核，从而解开了这个谜团。并且他们的计算表明，这种核反应释放的能量比受生物学启发的化学反应多一亿倍，他们将这一过程命名为“核裂变”。 世界各地的实验室都在重现这一过程，以确认该实验的正确性，毕竟这个过程所释放的大量能量具有明显的军事用途。1939年，当Niels Bohr发现微量的铀235是核裂变过程的原因时，他能够完整地描述核裂变的物理原理。 但是，当我们对天然铀进行粗略估计后，我们发现其中含有几乎99.3%的铀238，而铀 235仅有约0.7%。也就是说，每140 个原子核中只有一个是铀235。这两种同位素具有相同数量的电子，这使得它们无法通过化学方法分离。唯一微小的差异是它们的质量，因为铀238比铀235多了三个中子。尝试大量分离这两种同位素需要庞大的工业综合体和大量资源。 1939年夏天，法国物理学家Francis Perrin发表了一篇论文，假设不分离天然铀中的铀235，估计了维持链式反应所需的氧化铀质量。他正确地使用了扩散理论，发现在天然氧化铀中实现快中子链式反应40000千克，这使得当时认为核弹是不切实际的。 临界质量可以用材料的密度和体积来表征，而我们谈论的最简单的几何形状是球体，因此临界质量可以写为临界半径R_C的函数。通过这种参数化，我们将问题简化为找到临界条件的R_C 大小。在这方面，有许多我们所熟知的物理学家做出了贡献，然而有一个关键的无名英雄Rudolf Peierls，他的计算将一块用抽象方程描述的铀变成了现实的核材料。 1939年夏天，当希特勒上台后，Peierls搬到了英国成为了伯明翰大学的一名教授。当时他写了一篇题为“中子配对的临界质量”的短文，通过改进和推广配对结果，为临界质量的完整计算奠定了基础。 皮尔斯用中子扩散方程描述了发生核裂变的物质内部的分布，这是一个复杂的微分方程，但我们可以通过以下方式理解这个方程。中子可以在材料内部快速移动，导致更多裂变发生，从而产生更多中子，但也会在材料表面逃逸。
在公式中N代表铀块内单位体积的中子数。所以，公式左侧代表中子数随时间的变化。而公式右侧第一项代表每次裂变反应产生的新中子，第二项代表中子进入和逃逸出材料的速率。接下来，我们就可以定义临界条件为，净逃逸出材料的中子被核裂变产生的中子精确补偿的状态。 接下来我需要介绍两个出现在大多数计算中的关键物理量。第一个关键物理量是碰撞截面，由希腊字母σ表示，可以理解为发生反应的概率。打个比方，我们正在打篮球，篮筐的面积越大，我们投进球的概率就越大。每种反应都有一个截面，特别是我们对裂变截面感兴趣，它量化了中子分裂铀核的概率。 第二个重要的量是平均自由程，用希腊字母λ表示，它可以解释为中子在撞击铀核之前行进的平均距离，该平均自由程可以计算为截面σ和铀数密度n乘积的倒数。就像截面一样，每个反应都有一个平均自由程，同样我们对核裂变感兴趣，它的自由程越小中子就越有可能分裂铀核。 根据扩散方程的解，他们发现铀235的临界半径约为裂变平均自由程的0.8 倍。上面提到过，临界半径与截面和铀核数密度有关，而数密度又可以和阿伏加德罗数、质量数、密度联系起来。因此，我们最终可以得到临界半径R_C的公式：
把数值代入这个公式，他们发现纯铀235的临界半径为2.1 厘米，相当于这是高尔夫球的大小。他们可以根据半径计算出临界质量，结果发现临界质量小于 600克。这个结果有一个明确的结论，如果你能得到这么多的纯铀235，就有可能制造出核弹。 这里的大部分计算是正确的，但它们使用了1840年的非常粗略的值。使用现代值，我们发现铀235的临界半径为8.4厘米，临界质量变成大约46千克。而钚239的临界半径为6.3厘米，临界质量约为17千克。我们在这里所说的临界质量是“裸的”，因为我们可以借助中子反射器或压缩将临界质量变小。
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