从玻尔原子模型到氢光谱公式的探索之旅

1895年，卢瑟福来到英国卡文迪许实验室，跟随汤姆逊学习。在汤姆逊的指导下，卢瑟福在放射性吸收实验中发现了α粒子。后来，卢瑟福利用α粒子进行散射实验，意外发现实验结果与原子的枣糕模型不一致。根据这些实验数据，卢瑟福提出了他的原子模型：带正电的原子核向太阳一样居于其中，电子像行星一样围绕其运转。

卢瑟福的原子模型成功解释了α粒子的大角度偏转，但是它也存在这两个主要的问题。首先，加速运动的电子会辐射电磁波，导致电子能量减少轨道变低，并最终落到原子核上使原子“消失”。其次，电子连续运动发射出的电磁波能量是连续的，所以原子光谱应该是连续的，但实验结果显示原子光谱是线状的。

玻尔在博士毕业之后也是来到了卡文迪许实验室，但是汤姆逊当时忙于行政，玻尔并没有太多机会与之接触。有一次，玻尔听完卢瑟福的报告之后，对原子模型很感兴趣，就去找卢瑟福谈话，问能不能跟着他工作。卢瑟福虽然主要是做实验的，但是他还是接受了玻尔，并且让他解决现在原子模型所面临的理论困难。

玻尔为了解决这个问题，提出了几个重要的假设。首先，既然电子加速运动会辐射能量导致轨道连续变化，那么玻尔就假设电子的状态不是连续的，只能处于几个分立的、确定的轨道上。并且，轨道从内到外给它们编号n=1,2,3……。其次，电子从一个轨道到另一个轨道，只能通过跃迁的方式进行，并且跃迁产生的电磁波吸收或辐射满足以下式子：E(n)-E(n-1)=hν 。E是相应轨道的定态能量，ν是电磁波的频率。

如果只是上述两条假设，那么还不足以把分立的能级确定下来。因此，玻尔提出了一条非常重要的想法，现在称为对应原理。他的想法是这样的，自然界是统一的，不会分成微观世界和宏观世界两个对立面，它们之间一定有个平缓过渡。因此，当轨道量子数n非常大的时候，这些态给出的能量应该和经典物理给出的数值相同。

根据这些假设，玻尔很快就推导出了每个定态的能量表达式：

其中G为积分常数，只有在能量满足这些关系的电子轨道才能稳定存在。从这个公式我们也可以看出，能量E(n)确实存在一个最小值。在这个最小值处，你不能让电子再往下跃迁，所以原子是稳定存在的。

但是，卢瑟福在听完玻尔的报告后，随即提出了质疑。因为玻尔一开始就假设电子轨道是分立的，这个假设就已经隐含了一个最小值的结果，然后再来证明存在一个最小值岂不是循环论证了。但是，卢瑟福还是对玻尔取得的进步表示肯定。因此，卢瑟福建议玻尔再进行研究，看能不能把一些假设取消掉或者使之更合理化。

但玻尔并没有选择继续跟着卢瑟福工作，而是先回国解决婚姻大事，也正是这一选择使它走向了正确的道路。玻尔虽然推导处了理论结果，但毕竟要有实验来进行验证，他不知道要如何应用于实验。偶然有一次，他和好友汉森交谈彼此的工作时，汉森给他介绍了氢原子光谱的巴尔曼公式：

看到这个n²，玻尔一下子就反应了过来。他令常数G=0，然后用E(n)-E(2)=hc/λ，就得到了：

然后，他让前面这些常数计算出来的值与实验得出的R进行比较，发现它们是对得上的。我们知道，这个巴尔曼公式从1885年硬凑出来之后，没有人知道它是如何推导的，没有人知道为什么是这样的，而玻尔现在以自己的方式做到了。在这之后，玻尔马上写信给卢瑟福告诉他这件事，玻尔的论文也就正式发表。