薛定谔方程失败时的两个重要方程

薛定谔方程被广泛认为是量子物理学中最重要的方程之一。对于我们正在研究的任何系统，它可以描述当我们对其进行测量时发现系统处于不同状态的概率，并且它还可以研究这些概率如何随着时间的推移而变化。

尽管薛定谔方程是一个极其有用的方程，但它也有局限性：它没有考虑爱因斯坦狭义相对论等重要理论。因此在本文中，我们将看到两个升级后的方程，它们包含了其他重要的物理理论，比薛定谔方程更复杂。

首先让我们谈谈薛定谔方程及其告诉我们的内容。假设我们正在研究一个简单的系统（例如单个电子），波函数ψ允许我们找出有关电子的信息，例如我们可以计算出找到电子在不同位置的可能性有多大。

但我们要知道的重要一点是，薛定谔方程不是一个包含狭义相对论的波动方程。当物体相对于彼此移动非常快时，就会开始出现一些有趣的效应，例如从一个物体的角度来看，另一个物体的时间以不同的速率流逝。薛定谔方程并没有考虑到这些影响，它对待时间的方式也与对待空间的方式非常不同。而在相对论中，时间和空间是被平等对待的。

看待薛定谔方程的一种方法是：对于任何具有质量的物体，其动能可以用动量p来写这个项E_K=p²/2m，然后我们可以将物体所经历的任何势能V添加到其中。因此，薛定谔方程说的是，物体的动能加上它的势能等于它的总能量。

所以如果我们想将狭义相对论的影响纳入方程中，那么我们要从爱因斯坦著名的质能方程开始：E=mc²。这个方程告诉我们，一个物体由给定的质量构成时有多少能量。但这个方程并不好用，它只处理不移动的物体。这个方程更具体的版本是这样的：E²=(m₀c²)² (pc)²，它包含了物体具有的动量。

利用这个更为具体的方程，然后我们进行一些数学运算，我们可以得到这样的方程：(☐² μ²)ψ=0。这被称为克莱因-戈登方程，该方程融入了狭义相对论。这个ψ在克莱因-戈登方程中的含义与在薛定谔方程中的含义并不完全相同。在薛定谔方程中，我们将ψ解释为与测量结果相关的概率。但在克莱因-戈登方程中，这个量实际上被解释为代表电荷密度， 这个方程告诉我们带正、负或零电荷的粒子的相对论和量子行为。
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克莱因-戈登方程的有趣之处在于，尽管它是将狭义相对论和量子力学结合成一个简洁方程的第一步，但它也有局限性，因为它没有考虑称为自旋的粒子属性。自旋是粒子可以拥有的量，就像电荷和质量一样，它是粒子自然具有多少角动量的度量，即使它没有真正旋转。

克莱因-戈登方程不考虑自旋，或者更准确地说，它只对于自旋为零的粒子起作用 。为了解释自旋，我们需要另一个方程，它本质上也是量子力学和狭义相对论结合的方程，它就是著名但非常难以理解的狄拉克方程。

狄拉克方程基本上是克莱因-戈登方程的平方根，换句话说，如果你把狄拉克方程平方，你就得到克莱因-戈登方程。那么，为什么两者是平方关系，一个可以解释自旋，另一个却无法解释呢？这是因为平方后实际上丢失了信息。

我们举一个简单的例子进行类比。这就像负-2的平方和 2的平方，两者都给了我们相同的结果。但当我们查看这个结果时，我们丢失了原始值，我们不知道是对负2求平方还是对正2求平方才得到该值。类似的方式，狄拉克方程包含有关自旋的信息，这些信息在进入克莱因-戈登方程时会丢失。这是一个非常肤浅的解释，但它确实给了我们一个很好的感觉，很好地类比了狄拉克和克莱因-戈登方程如何相互关联。

现在，狄拉克方程可以处理自旋为二分之一粒子，如质子、中子和电子，这些粒子构成了我们可以观察到的大部分粒子。狄拉克方程还在其ψ中引入了一些额外的自由度，这次ψ有四个分量。其中两个分量与我们在薛定谔方程中使用的ψ非常相似 ，另外两个自由度包含以量子和相对论方式表现的所有额外粒子信息。

狄拉克方程还预测了具有相同质量的粒子的存在，但具有完全相反的电荷。例如，电子通常具有给定的质量和-1单位的电荷，而狄拉克方程表示存在具有相同质量但 1个单位电荷的粒子。起初，狄拉克认为这是他的数学错误，因为他的方程没有足够的约束。但后来事实证明，这些粒子确实存在，我们称它们为反物质。