带有宇宙常数的二体问题解

宇宙学常数，通常用希腊字母Λ表示，是现代物理学中最神秘和最有趣的概念之一。它代表了一种充满整个空间的能量，使得宇宙的膨胀加速。Λ的值可以通过各种宇宙学观测来测量，例如宇宙微波背景辐射，Ia型超新星和重子声波振荡。然而，这些测量都是在非常大的尺度上进行的。有没有一种方法可以在更小的尺度上测量Λ，比如说，在我们自己的宇宙邻域内？

最近的一篇论文提出了一种新颖的方法，从两个星系的动力学来约束Λ：我们自己的银河系和它最近的邻居——仙女座。这两个星系形成了一个双星系统，称为局部星系群，它们由相互之间的引力相互束缚。论文的作者们显示，宇宙学常数影响了两个星系的轨道运动，通过测量它们的相对位置和速度，可以得到Λ的上限。这种方法提供了一个新的视角来探索暗能量，也提供了一个测试引力理论的替代方案。

带有Λ的二体问题

让我们从一些基本的物理开始。两个物体在相互引力作用下的运动是一个经典的力学问题，称为二体问题。这个问题的解是众所周知的：两个物体沿着它们共同质心的椭圆轨道运动，具有恒定的周期和能量。这是我们在入门物理课程中学习到的。

然而，这个解假设除了两个物体之外，宇宙中没有别的东西。事实上，我们知道还有别的东西：宇宙学常数Λ。Λ如何影响二体问题呢？要回答这个问题，我们需要使用一个比牛顿更一般的引力理论：爱因斯坦的广义相对论。
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在广义相对论中，引力不是一种力，而是空间和时间曲率的表现。物质和能量存在告诉空间和时间如何弯曲，空间和时间曲率告诉物质和能量如何运动。宇宙学常数Λ是一种均匀分布在空间和时间中的能量形式，它使空间和时间以特定方式弯曲：使空间随着时间指数增长。

论文作者用一些近似和简化推导出了带有Λ的广义相对论中二体问题的解析解。他们假设两个物体是点质量，他们的轨道是圆形，并且他们轨道平面垂直于膨胀方向。他们也忽略了其他星系或结构在宇宙中产生的任何其他效应。在这些假设下，他们发现两个物体轨道运动仍然是周期性的，但是由于Λ的存在而有一些修正。

主要的修正是轨道周期随着时间增加，因为空间膨胀。增加的速率取决于轨道周期和由Λ设定的特征时间尺度之间的比例。这个特征时间尺度比宇宙的年龄138亿年要长得多。然而，它与银河系和仙女座的轨道周期相当，大约是170亿年。这意味着Λ对它们的轨道运动有显著的影响，不能被忽略。

从局部星系群测量Λ

我们如何从银河系和仙女座的轨道运动来测量Λ呢？为了做到这一点，我们需要知道它们的相对位置和速度，以及它们的质量。位置和速度可以通过天文观测来测量，使用望远镜和卫星。质量则更难测量，因为它们取决于每个星系包含多少暗物质。暗物质是另一种神秘的物质，它不发射或吸收光，只通过引力相互作用。它构成了星系的大部分质量，但它的本质和分布仍然未知。

基于各种观测和模拟，论文作者使用了目前对银河系和仙女座质量的最佳估计。他们也使用了目前对它们相对位置和速度的最佳测量，这是基于盖亚卫星的数据。他们把这些数字代入他们的解析解中，并且找到了最能拟合数据的Λ值。他们也估计了他们结果中的不确定性，考虑到测量和质量中的误差。

他们发现，仅仅基于局部星系群动力学得到的宇宙学常数值是Λ<5.44Λ_PL，其中Λ_PL是由普朗克卫星从宇宙学观测得到的值。这意味着他们的结果与标准宇宙学模型是一致的，但也留下了一些变化的余地。特别地，他们发现，随着未来更精确的天文测量，例如那些期待从维拉·鲁宾天文台得到的测量，Λ的限制可以改进为Λ=(1.67±0.79)Λ_PL。这将提供一个更精确和独立的Λ测量，在一个比以前小得多的尺度上。