时间反演对称被破坏的上限：一个普遍的随机热力学结果

时间反演对称是指如果我们把一个物理系统的运动倒过来，那么它仍然遵循相同的物理定律。例如，如果我们把一个弹簧振子的运动录像倒放，我们看到的仍然是一个弹簧振子在做简谐运动。这就是时间反演对称的一个例子。

但是，并不是所有的物理系统都具有时间反演对称。有些系统在非平衡态下运行，也就是说，它们不断地从外界吸收或释放能量，导致它们的状态发生持续的变化。例如，如果我们把一杯热咖啡放在桌子上，它会慢慢地冷却，直到达到室温。这个过程是不可逆的，也就是说，如果我们把录像倒放，我们看到的不再是一个物理合理的过程。这就是时间反演对称被破坏的一个例子。

那么，为什么有些系统具有时间反演对称，而有些系统没有呢？这和熵有关。熵是一种衡量系统无序程度的物理量，它和第二定律有关。第二定律告诉我们，在一个孤立系统中，熵总是不会减少的。也就是说，系统总是倾向于变得更加无序和混乱。当一个系统处于平衡态时，它的熵达到最大值，也就是最无序的状态。在这种情况下，系统具有时间反演对称，因为无论我们如何改变时间方向，系统都保持在同样的状态。但是，当一个系统处于非平衡态时，它的熵还没有达到最大值。在这种情况下，系统不具有时间反演对称，因为改变时间方向会导致系统的熵变化。

那么，如何量化时间反演对称被破坏的程度呢？这就要用到随机热力学的工具了。随机热力学是一门研究微观或介观尺度上非平衡态系统动力学和统计性质的学科。它可以用随机变量来描述系统中各种物理量或状态变量的波动和流动。例如，在一个电路中，电流和电压就是两个重要的物理量，它们之间存在着线性关系：电流等于电阻乘以电压。这个关系可以用欧姆定律来表达：I=VR。

但是，在微观或介观尺度上，电流和电压并不是恒定不变的量，而是随着时间而波动的量。这些波动可以用随机过程来描述：I(t)=I δI(t)，V(t)=V δV(t)。这里I和V表示平均值或期望值，δI(t)和δV(t)表示波动或偏差。这些波动的统计性质可以用相关函数来表征：CIV(τ)=⟨δI(t)δV(t τ)⟩，CVI(τ)=⟨δV(t)δI(t τ)⟩. 这里⟨⟩表示平均或期望，τ表示时间延迟。相关函数反映了两个物理量之间的相关性，也就是说，一个物理量在某一时刻的值会影响另一个物理量在稍后时刻的值。

当系统处于平衡态时，相关函数具有时间反演对称，也就是说，CIV(τ)=CVI(−τ). 这个性质可以用昂萨格的互易关系来表达：LIV=LVI. 这里LIV和LVI表示连接电流和电压的线性系数，它们可以用相关函数在τ=0时的值来定义：LIV=CIV(0)，LVI=CVI(0). 昂萨格的互易关系告诉我们，在平衡态下，电流对电压的影响和电压对电流的影响是相同的。

但是，当系统处于非平衡态时，相关函数不再具有时间反演对称，也就是说，CIV(τ)≠CVI(−τ). 这个性质可以用昂萨格的互易关系被破坏来表达：LIV≠LVI. 这意味着，在非平衡态下，电流对电压的影响和电压对电流的影响是不同的。这种不对称性反映了系统中存在着热力学力，也就是说，系统不断地从外界吸收或释放能量，导致系统的熵产生或消耗。热力学力可以用熵产生率来定义：σ=⟨I(t)V(t)⟩/T。这里T表示温度。熵产生率反映了系统中能量转化为熵的速率。

那么，时间反演对称被破坏的程度和热力学力之间有什么关系呢？研究人员发现了一个不等式，它把相关函数的不对称性和热力学力联系起来了：|CIV(τ)−CVI(−τ)|≤2σ|τ|. 这个不等式告诉我们，在非平衡态下，相关函数的不对称性是有上限的，而且这个上限正比于热力学力和时间延迟的乘积。这个不等式是一个普遍成立的结果，它适用于任何非平衡态系统，并且不依赖于具体的模型或参数。
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这个不等式有什么意义呢？它意味着，在非平衡态下，我们可以通过测量两个物理量之间的相关函数来估计系统中存在着多大的热力学力。这对于实验上观察和控制非平衡态系统有重要的指导作用。另一方面，它也意味着，在非平衡态下，我们不能任意地调节两个物理量之间的相关函数，因为它们受到了一个基本限制。这对于理论上设计和优化非平衡态系统有重要的启示作用。