广义相对论中的行星轨道方程

如果你曾经在极坐标系下推导行星在牛顿引力下的方程，你会得到：

其中L和E分别是行星的角动量和能量，利用以下这个等式可以消去t：

可以得到轨道方程：

等式两边对θ进行微商，得到：

把1/r看成一个整体，我们就可以解出这个常规的微分方程，得到轨道方程。

广义相对论中的行星轨道

广义相对论中的能量守恒、角动量守恒与牛顿力学不同，此外还有一个四速归一化条件：

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其中我们采用了光速c=1的自然单位制度，τ是固有时。我们可以利用同样的技巧消去dτ，等到方程：

同样等式两边对θ进行微商，得到：

在天文学的精确测量之下，我们知道行星的轨道并不是像牛顿力学预测的那样封闭的，在太阳系中水星的近日点进动效应最为显著。每一百年水星的近日点进动5600''，扣除掉岁差和其它行星摄动的影响，牛顿力学预测的进动值与真实值还差43''。

广义相对论结果相比牛顿结果，多了一个附加项3GM/r，而这一项正是广义相对论效应的体现，可以看成是牛顿理论的广义相对论修正项。也正是有了这一项，让我们可以解释43''的差距。感兴趣的同学可以自行解这个难度较大的非线性微分方程，然后就可以得到真正的轨道方程，代入数据就可以得到进动值。