彭罗斯奇点定理如何解释时空的终结

2020年诺贝尔物理学奖颁给了黑洞，严格来说是颁给了揭示星系中心黑洞的天文学家和证明黑洞奇点的彭罗斯。但彭罗斯奇点定理的影响要深得多，它把我们引向爱因斯坦伟大理论的极限和宇宙的起源。

黑洞与奇点

自18世纪以来，黑洞一直困扰着我们的引力理论。当约翰·米歇尔和西蒙·拉普拉斯探索牛顿的万有引力定律时，他们意识到可能存在一颗质量巨大的恒星，以至于它会阻止光线从其表面逃逸。很少有人把这些“暗星”当回事，特别是当我们知道光的行为并不像牛顿所假设的那样。后来，我们甚至发现连引力都不像牛顿告诉我们的那样起作用。1915年牛顿引力被更为精确的广义相对论所取代，但这并不意味着暗星的终结，反而是以黑洞的名义复活。

在爱因斯坦发表广义相对论方程后不久，卡尔·史瓦西就得出了一个解，揭示了一个足够致密的物质球将被一个时间冻结的表面所包围。在那个事件视界之下，所有的物质、光和空间都注定要向内落入一个中心点。在那个所谓的奇点处，引力变得无穷大。

但物理学家通常对无穷大持怀疑态度，通常情况下，它们被认为是理论中的一个小故障。爱因斯坦自己也怀疑在真实的宇宙中黑洞是否会形成，即使黑洞能够形成，它们也不应该存在奇点。毕竟，史瓦西解并没有说明物质如何达到足够高的密度以产生视界，也没有说明这样高密度的物质是否真的会收缩到一个点。它只表明，一旦如此收缩，产生的黑洞是稳定的。黑洞存在的可能性也激发了一大批伟大的科学家去寻找它们可能存在的方式。

1939年，罗伯特·奥本海默和哈特兰·斯奈德表明，一个完全平滑的尘埃球可以坍缩成一个史瓦西黑洞奇点。到了1960年代中期，罗伊·克尔在爱因斯坦的方程中解出了一个旋转黑洞，其中无限引力的中心点被旋转成了一个环，但它仍然是一个奇点。两个理论中的完美对称性都遭到了质疑，因为现实中不可能存在。

彭罗斯奇点定理

剑桥大学一位名叫罗杰·彭罗斯的年轻物理学家证明了黑洞奇点在爱因斯坦理论中是完全不可避免的。彭罗斯的奇点论文看起来很短，但这种简洁性似乎不那么简单。有人说，这篇1965年的论文在广义相对论发表半个世纪后，带来了第一个真正的新进展。那么彭罗斯发现了什么？他是如何设法窥视到黑洞的数学核心的？为什么他应该获得诺贝尔奖？下面这些论述可能有人看不懂，但我会举一个例子，你看过后就会豁然开朗。

彭罗斯表明，只要物质被压缩到一个足够小的空间体积，任何物质分布都会形成视界和奇点。他用一种聪明的方式证明了这一点——通过展示时空网格在黑洞内真正结束了。

在广义相对论中，我们用称之为测地线的网格线来描绘时空的结构，它们是物体在引力场自由落体所经过的路径。光线所经过的路径称为零测地线，它们是划分时空结构的黄金标准。经过任何引力场的零测地线往往都会会聚在一起，这就是引力透镜。由普通物质产生的引力场总是会产生这种会聚作用，引力场的这种聚焦特性被称为广义相对论的弱能量条件，它适用于任何黑洞。因此，进入黑洞的零测地线会收敛。

但关于黑洞的疯狂之处在于，事件视界下方试图向外传播的零测地线也会收敛。实际上，事件视界的整个概念在这里很棘手，有很多方法可以定义事件视界，这取决于你与黑洞的相对位置。彭罗斯提出了一个更精确的概念——被困表面，即任何具有零测地线性质的封闭表面，因此任何从表面指向外的光实际上都是向下移动的。黑洞“内部”的任何封闭表面都被认为是被困表面。

彭罗斯指出，平行的零测地线离开被困表面都必须会聚并形成一个焦点。他还表明，对于从被困表面发出的光线，继续追踪这些焦点以外的空间和时间的进程是没有意义的。换句话说，空间和时间在焦点处结束。零测地线终止于黑洞的这些焦点，我们称之为测地线不完备。因为它们是我们用来映射时间和空间的网格，所以测地线不完备意味着空间和时间在终点处结束。

尝试一个类比，绘制地球表面的测地线是经纬度，经线的焦点是北极和南极，沿着经线是到达北极、南极的最短距离。但是，到达北极之后，想要再到达另一个地方就不是最短距离了。例如，我们想从北京到北极，那么沿着经线走是最短的；我们想从北京到上海，如果先到北极再到上海已经不是最短路线了，因为测地线已经在北极就结束了。同样，在黑洞中，焦点处就是时间和空间结束的地方。

所以，测地线的不完备性是很奇怪的。在彭罗斯之前，人们普遍认为，测地线可以无限期地追溯到以往和未来，所有的时空都应该是一个光滑的、弯曲的结构，在任何地方都可以被清晰地定义。然而，彭罗斯指出空间和时间可能存在漏洞，这些漏洞往往与无限的时空曲率（奇点）有关。彭罗斯实际上并没有说明黑洞中会形成哪种类型的奇点，只是说奇点是不可避免的。在史瓦西黑洞中，时间终止于中心点状奇点；在克尔黑洞中，时间在环奇点处停止。

广泛的应用

有了罗杰·彭罗斯的发现，人们不得不更加认真地对待黑洞及其内部的奇点。但奇点定理的真正用途远不止于黑洞。就在彭罗斯发表他的论文之后，一个年轻的研究生受到启发，以一种非常不同的方式应用了奇点定理，那个学生就是史蒂芬·霍金。

霍金表明，彭罗斯关于黑洞的论点也适用于宇宙。在不断膨胀的宇宙中，若要追溯宇宙的起源，测地线就必须真正地相遇，从而形成一个奇点。这就意味着它们必须终止时间本身，而时间本身无法追溯到那个点以外，这就意味着时间实际上是从大爆炸开始的。霍金和彭罗斯进一步发展了这些想法，并在1970年发表了一个明确的证明。我们现在把测地线不完备性的组合证明称为彭罗斯-霍金奇点定理。

当我们在理论中看到无穷大和奇点时，我们应该持怀疑态度。彭罗斯告诉我们，在广义相对论中奇点是不可避免的，因此广义相对论应该在奇点处崩溃。解决方案是广义相对论和量子力学的结合——量子引力理论，量子力学和相对论都只是它的近似值。这样的理论可以告诉我们，当测地线接近并合并时真正会发生什么，甚至有希望告诉我们测地线、空间和时间到底是什么。罗斯奇点定理是使我们走上这个尚未发现的伟大理论之路的重要因素。