用简单的量纲分析推导黑洞的霍金温度公式

1974年，史蒂芬·霍金通过将广义相对论与量子场论的某些元素相结合，证明了黑洞确实会发生辐射，导致它们慢慢蒸发并最终消失。对于我们来说，黑洞物理学是出了名的困难，需要广义相对论和量子场论的高级知识。那么，是否有可能通过高中数学就可以确定黑洞的特性呢？答案是肯定的。事实上，我们的策略很简单，使用量纲分析在不做完整计算的情况下猜测黑洞方程的结构。接下来，我们将关注长度、时间、质量和温度的基本量纲，它们分别用L、T、M和θ表示。

为了理解我们所说的量纲分析，让我们看一个简单的例子。物理学方程的伟大之处在于，它们提供了方程中出现的属性的量纲之间的关系。例如，考虑速度等于距离除以时间的方程，为了得到速度的量纲，我们只需要参考定义方程，它告诉我们速度的量纲等于距离的量纲除以时间的量纲，用等式来表达就是

光速是最著名的基本常数之一，它和上述速度一样具有同样的量纲。从爱因斯坦的质能方程我们还可以得到能量的量纲。

根据万有引力公式的变体，我们可以得到引力常数G的量纲。

运用同样的技巧，我们可以得到约化普朗克常数的量纲。

最后与热力学有关的常数

有了这些基本常数的量纲，我们可以开始构建黑洞的方程了，不过这里有几条规则。当速度很快时，要加入常数c；当质量很大时，应该加入引力常数G；当涉及到量子时，要加入约化普朗克常数；当涉及到温度时，要加入玻尔兹曼常数KB。

接下来，我们以史瓦西黑洞为例，用量纲分析求解它的黑洞视界面积。首先，黑洞的质量是巨大的，所以方程应该包含引力常数G和质量M；其次，视界的逃逸速度等于光速，我们应该也包含光速c。因此，我们猜测的方程如下。