从胡克定律到量子力学的零点能量，最后还蹦出了拉马努金

一个未拉伸的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端系着一个质量为m的块状物体。如果我们拉动这个弹簧块并将弹簧延长一定距离x，弹簧会对质量块施加恢复力F，试图使质量块恢复到平衡位置。我们会发现，恢复力F与伸长量x成正比我们可以将其写成：

其中负号代表伸长量与恢复力的方向相反。

我们可以通过引入比例常数k来将关系转换为等式，这个常数k也被称为弹簧系数，是衡量弹簧刚度的一种量度。

考虑一下，如果把弹簧拉长后释放会出现怎样的情况？根据牛顿第二定律，弹簧力会导致质量加速，因此我们可以用ma代替弹簧力F，并重新排列成如下公式：

上面这个公式实际上描述了一种特殊的运动类型：简谐运动，它是宇宙中各种振动的核心，为了更深入了解这个公式，我们将其写为二阶微分形式。

因此，结合加速度的二阶形式与胡克定律，我们就有了以下公式：

这个微分方程描述了弹簧的位移随时间的变化，我们知道它的解为：

然后，我们再将其两次微分后代入微分方程中：

因此，我们可以得到该系统的圆频率或周期：

我们还关心系统的总能量，它等于动能和势能之和，可以列出下式：

注意到ω与k的关系k=mω^2，我们可以得到总能量的公式：

到目前为止，这些都是些典型的推导，相信大家都已经滚瓜烂熟了。接下来，我们将把量子力学加上去。