如何推导行星椭圆轨道方程

16世纪之前，人们认为地球处于中心，而太阳和其他行星围绕着它转。后来，哥白尼提出了“日心说”，把太阳放在中心，地球和其他行星围绕着太阳转。虽然哥白尼的日心说是一项壮举，但该理论中行星是圆轨道，为了与观测数据相符，需要添加一个又一个的本轮。

16世纪末期，开普勒分析了他的老师第谷留下来的观测数据，整理出了著名的开普勒三大定律，其中第一定律又称为椭圆定律：所有行星轨道都是椭圆，太阳处于其焦点。我们想，开普勒是从实践中得出椭圆轨道，那么如何才能从理论上推导出椭圆轨道。

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椭圆的数学表达

为了做到这一点，我们需要知道椭圆的数学表达式。在高中，我们都学过直角坐标系下的椭圆标准方程：

如上图，参数a、b、c所代表的含义都已标明，我们主要还有：偏心率e=c/a，半正焦弦l=a(1-e^2)。

事实上，在分析行星运动时，坐标原点取太阳中心比取椭圆中心更为自然。因此，我们将用极坐标系(r, θ)代替直角坐标系(x, y)。我们选取焦点F2为原点，于是有下面的关系：

把它代入上述直角坐标系方程中，得到：

求解这个方程，并剔除掉使r成负数的解，我们就可以得到椭圆在极坐标系下的方程：

为了等下推导行星轨道更容易看出椭圆方程，我们用半正焦弦l代替，并重新排列方程：

行星轨道方程

在这里，我们要写出极坐标下的行星能量方程和角动量方程。

请注意，在极坐标下，速度包含了两部分：平行r方向的速度和垂直r方向的速度。因此，我们可以列出能量方程=动能 势能：

其中，k=GMm。而角动量方程为：

联立两个方程，我们可以得到：

因为行星轨道方程与时间无关，所以我们可以利用链式法则消去dt，如下：

代入上面的式子就得到：

注意，这里还要用到一个常用的技巧：令u=1/r，这会使数学计算更容易一点。这里我们就不给出繁琐的计算过程，直接给出最终的轨道方程：

是不是和极坐标下的椭圆方程形式相同，其中偏心率e：