如何推导行星椭圆轨道方程

16世纪之前，人们认为地球处于中心，而太阳和其他行星围绕着它转。后来，哥白尼提出了“日心说”，把太阳放在中心，地球和其他行星围绕着太阳转。虽然哥白尼的日心说是一项壮举，但该理论中行星是圆轨道，为了与观测数据相符，需要添加一个又一个的本轮。

16世纪末期，开普勒分析了他的老师第谷留下来的观测数据，整理出了著名的开普勒三大定律，其中第一定律又称为椭圆定律：所有行星轨道都是椭圆，太阳处于其焦点。我们想，开普勒是从实践中得出椭圆轨道，那么如何才能从理论上推导出椭圆轨道。

为了做到这一点，我们需要知道椭圆的数学表达式。在高中，我们都学过直角坐标系下的椭圆标准方程：

如上图，参数a、b、c所代表的含义都已标明，我们主要还有：偏心率e=c/a，半正焦弦l=a(1-e^2)。

事实上，在分析行星运动时，坐标原点取太阳中心比取椭圆中心更为自然。因此，我们将用极坐标系(r, θ)代替直角坐标系(x, y)。我们选取焦点F2为原点，于是有下面的关系：

把它代入上述直角坐标系方程中，得到：

求解这个方程，并剔除掉使r成负数的解，我们就可以得到椭圆在极坐标系下的方程：

为了等下推导行星轨道更容易看出椭圆方程，我们用半正焦弦l代替，并重新排列方程：