物理学中影响深远的思想之一：最小作用原理

假设我们有一个粒子，从A点运动到B点，到达那里的路径是什么？牛顿力学给了我们一种回答这个问题的方法，但是牛顿方法应用到向量，如果在多粒子情况下，计算将变得非常复杂。在18世纪拉格朗日和其他人提出了一个不同的建议，他们为每条可能的路径分配了一个称为作用量的数字，然后证明了粒子所遵循的轨迹实际上是作用量最小化的轨迹。

牛顿力学

牛顿告诉我们，要回答这个问题，我们应该写下粒子上的所有力，然后让它等于质量乘以加速度。此外，我们也知道了力是势能U的导数关系，结合这两个式子，可以得到一个全新的公式，写下来就是：

在拉格朗日的方法中，我们将定义一个拉格朗日量L，其值为动能减去势能，如下说所示：

粒子有非常多条可能的轨迹，但我们要寻找的是使作用量S最小化的轨迹（实际上最大化也可以），它才是粒子的真实轨迹。

扩展第一项，并略去高阶小量：

于是，我们重写扩展后的拉格朗日量：

那么，在极限的情况下，我们就希望作用量ΔS=0：

虽然它的轨迹添加了一些微小的摆动ε，但是起点和终点的是固定的，也就是说ε=0，所以这一项就等于零了。因此，我们就剩下后一项为零：

这正是之前从牛顿力学推导出的方程。此外，由于有以下关系：

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这就是我们所熟悉的欧拉-拉格朗日方程，在求解多粒子系统的某些情况下，比直接使用牛顿力学更好用。