古人如何计算日地距离与地月距离

古希腊天文学家和数学家阿里斯塔克斯通过对月球的一系列观测，并结合一些基本的几何形状，计算出太阳、月亮和地球之间的距离。碍于当时的观测设备与精度，他并没有得出正确的结果，但他的方法是正确的。今天，我们将重新利用现代观测数据，结合阿里斯塔克斯的方法，计算日地、地月之间的距离。

我们的方法将基于五个现象，每个现象都将揭示几何关系，这些关系的组合将使我们能够确定地球到太阳和月球的距离。这五个现象分别是：上弦月、日全食、月全食、满月以及棍子在太阳下的影子。

我们将用小写d表示天体之间的距离，下标s表示日地距离，下标m表示地月距离。用大写R和D表示天体半径与直径，下标s、m、E分别表示太阳、月亮和地球。

阿里斯塔克斯意识到，当我们看到上弦月的时候，地球、月亮和太阳三者形成了一个直角三角形，如图所示。如果我们能测量出图中的θ角，那么我们也就能计算出日地距离与地月距离的比例。

在当时，最好的测量结果显示，θ角约为87度。但现在更好的技术测量显示，这个角的更精准的度数为89.853度。使用这个数值，并利用三角几何关系，我们可以得到：

第二个计算是基于对日全食的观察，当月球刚好处在地球和太阳之间且三者连成一条直线时会发生日全食，如图所示。

在图中我们注意到的是两个相似三角形，并利用第一个计算的结果，于是我们有以下关系：

第三次计算是基于对月全食的观察，当月球躲进地球的本影时就会发生月全食。如图所示，地球的阴影半径用R_shadow表示。

和第二个计算相似，我们发现两个阴影三角形是相似三角形，于是有以下关系：

注意到第二个计算中距离比与半径比的关系，所以我们可以得到：

古希腊天文学家已经注意到地球在月球轨道上投下的阴影半径大约是月球半径的两倍，现代值表明这实际上更接近月球半径的2.6倍。所以，我们看到上述表达式变成：

对于上式，我们有两种方法重新排列，且R_s/R_m在上面计算中已给出：