量子力学中的狄拉克符号

波函数在量子力学中是用来描述一切的东西：有电子的波函数、原子的波函数和薛定谔猫的波函数等等。在学习过程中，我们总是会看到波函数中有很多奇怪的符号，今天就来讲讲狄拉克符号。

在三维空间中，我们可以将向量视为从坐标原点指向任意点的箭头。我们可以在该空间中选择一个特别方便的基础向量，通常它们是三个正交向量，并且长度等于1。这些基向量可以写成列向量，每列都有一个等于1的元，其余元都等于0。然后，我们可以将任意向量写成这些基向量的和，或者我们也可以将基向量前面的系数单独拿出来成一个列向量。

量子力学中的波函数就是这样的向量，只不过它不是我们空间中的向量，而是称为希尔伯特空间的抽象数学事物中的向量。波函数和描述空间方向的向量之间最重要的区别之一是，量子力学中的系数不是实数而是复数，因此它们通常具有非零虚部。这些复数可以“共轭”，通常用星号上标来表示，例如z=x iy和z*=x-iy。此外，在量子力学中，我们不写带箭头的向量。相反，我们用一些有趣的括号来表示，如下所示：

这种新奇的标记法是狄拉克发明出来的，因此它被称为狄拉克符号，它有左右两部分：右矢和左矢。使用狄拉克符号是跟踪向量是列向量还是行向量的便捷方法。列向量我们用右矢表示，如果有行向量，则用左矢来表示。在量子力学中，如果将列向量转换为行向量，还要取系数的共轭，如下所示：