网球拍效应与欧拉动力学方程

在1991年的时候，一篇公开发表的文章才解释了这种效应。我也看过一些解释这种效应的科普文章和视频，他们要么用纯文字进行解释，要么直接给出欧拉动力学方程的结果进行解释。今天，我们从推导欧拉动力学方程开始，逐步给出这种效应的解释。

等式的左边是力矩M，我们可以直接写出它的分量形式。

接下来这里有一个问题，后三项是基本矢量随时间的变化，它们取决于我们所取的坐标系。在这里，我们所取的是刚体坐标系。在刚体坐标系下，基本矢量是随着刚体的旋转而旋转，所以基本矢量随时间的变化就是角速度ω叉乘这个基本矢量。如果还不明白，可以想想高中时是怎么推导圆周运动的加速度。

现在，整个式子变得非常复杂，但是如果我们代入角动量、角速度和转动惯量的关系，式子就会变得非常简单。在惯量主轴下，转动惯量不会随着旋转变化，我们有以下关系：