网球拍效应与欧拉动力学方程

在1991年的时候，一篇公开发表的文章才解释了这种效应。我也看过一些解释这种效应的科普文章和视频，他们要么用纯文字进行解释，要么直接给出欧拉动力学方程的结果进行解释。今天，我们从推导欧拉动力学方程开始，逐步给出这种效应的解释。

欧拉动力学方程推导

等式的左边是力矩M，我们可以直接写出它的分量形式。

接下来这里有一个问题，后三项是基本矢量随时间的变化，它们取决于我们所取的坐标系。在这里，我们所取的是刚体坐标系。在刚体坐标系下，基本矢量是随着刚体的旋转而旋转，所以基本矢量随时间的变化就是角速度ω叉乘这个基本矢量。如果还不明白，可以想想高中时是怎么推导圆周运动的加速度。

现在，整个式子变得非常复杂，但是如果我们代入角动量、角速度和转动惯量的关系，式子就会变得非常简单。在惯量主轴下，转动惯量不会随着旋转变化，我们有以下关系：

最后，我们让每个分量的力矩和每个分量的角动量对时间求导相等，就得到著名的欧拉动力学方程。

网球拍效应解释

我们假设转动惯量1>转动惯量2>转动惯量3，并且网球拍抛到空中后没有任何力矩。首先研究绕主轴1旋转的情况，此时ω1恒定，它对时间的导数也基本为零，而ω2和ω3受到扰动而出现微小的角速度。现在，对欧拉动力学方程的第二个方程求导，并把第三个方程代入其中，我们可以得到：

但是，当绕主轴2旋转时，同样的道理我们可以得到：
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此时，我们知道k>0，因此扰动会被放大，角速度会增加。也就是说绕主轴2的转动是不稳定的，一个小扰动就会使网球拍发生翻转。