楼梯悖论：3 4=5的错误结论

事实上，问题就在于，无限多个小误差累积起来会不会变成一个大误差。简单来说，积分求面积时的误差是两个无穷小长度的平方，即二阶无穷小。对它进行一阶无穷多次累加之后，我们得到的仍然是一阶无穷小。而对于所谓的楼梯悖论来说，它的误差是无穷小长度，即一阶无穷小，经过无穷多次累积后就可能变成一个可观的误差，所以折线不能用斜线代替。

如果只是用上述的语言进行描述，那么有些人可能还有点怀疑，那么下面我们就用一个例子来给大家一个直观的感受。如上图所示，误差面积为三角形Δs=dx·dy。我们令dy=k·dx，其中k为斜率，那么Δs=k·dx。因为dx=L/n，所以Δs=k·(L/n)。那么，把n个小误差累加起来，我们就得到：

所以，当n趋近于无穷时，我们不能把折线看成是斜线处理，并且它们之间的差总是等于2。