小波变换如何改变数据驱动的世界

在一个越来越受数据驱动的世界里，被称为小波的数学工具已经成为分析和理解信息不可或缺的方法。许多研究人员以连续信号的形式接收他们的数据，这意味着随着时间的推移不间断的信息流，例如地球物理学家收听从地下岩层反弹的声波，或数据科学家研究通过扫描图像获得的电数据流。这些数据可以呈现出许多不同的形状和模式，因此很难将它们作为一个整体进行分析，也很难将它们拆开研究，但小波可以提供帮助。

小波是不同频率范围和形状的短波振荡的表示。因为它们可以有多种形式（几乎任何频率、波长和特定形状都是可能的）研究人员可以利用它们来识别和匹配几乎任何连续信号中的特定波型。由于小波的广泛用途，小波已经彻底改变了图像处理、通信和科学数据流中复杂波现象的研究。

小波的出现是对傅里叶变换这一非常有用的数学技术的一种更新。1807年，约瑟夫·傅里叶发现，任何周期函数都可以表示为正弦和余弦等三角函数的和。这被证明是有用的，因为它允许研究人员将信号流分解成其组成部分，例如，地震学家可以根据反射声波的不同频率的强度来识别地下结构的性质。

因此，傅里叶变换已经直接在科学研究和技术中得到了许多应用。但是小波可以实现更高的精度。这是因为傅里叶变换有一个主要的限制：它们只提供有关信号中出现的频率的信息，而不涉及它们的时间或数量。这就好像你有一个程序来确定一堆现金中有哪些种类的钞票，而不是每种钞票实际有多少。

解决这个问题的第一次尝试来自匈牙利物理学家丹尼斯·加伯，他在1946年建议在应用傅里叶变换之前，将信号切割成短的时间局域段。然而，在频率分量变化较大的复杂信号中，这些很难分析。这使得地球物理工程师吉恩·莫雷开发了时间窗来研究波，时间窗的长度取决于频率：宽窗用于信号的低频段，窄窗用于信号的高频段。