小波变换如何改变数据驱动的世界

在一个越来越受数据驱动的世界里，被称为小波的数学工具已经成为分析和理解信息不可或缺的方法。许多研究人员以连续信号的形式接收他们的数据，这意味着随着时间的推移不间断的信息流，例如地球物理学家收听从地下岩层反弹的声波，或数据科学家研究通过扫描图像获得的电数据流。这些数据可以呈现出许多不同的形状和模式，因此很难将它们作为一个整体进行分析，也很难将它们拆开研究，但小波可以提供帮助。

小波是不同频率范围和形状的短波振荡的表示。因为它们可以有多种形式（几乎任何频率、波长和特定形状都是可能的）研究人员可以利用它们来识别和匹配几乎任何连续信号中的特定波型。由于小波的广泛用途，小波已经彻底改变了图像处理、通信和科学数据流中复杂波现象的研究。

小波的出现是对傅里叶变换这一非常有用的数学技术的一种更新。1807年，约瑟夫·傅里叶发现，任何周期函数都可以表示为正弦和余弦等三角函数的和。这被证明是有用的，因为它允许研究人员将信号流分解成其组成部分，例如，地震学家可以根据反射声波的不同频率的强度来识别地下结构的性质。

因此，傅里叶变换已经直接在科学研究和技术中得到了许多应用。但是小波可以实现更高的精度。这是因为傅里叶变换有一个主要的限制：它们只提供有关信号中出现的频率的信息，而不涉及它们的时间或数量。这就好像你有一个程序来确定一堆现金中有哪些种类的钞票，而不是每种钞票实际有多少。

解决这个问题的第一次尝试来自匈牙利物理学家丹尼斯·加伯，他在1946年建议在应用傅里叶变换之前，将信号切割成短的时间局域段。然而，在频率分量变化较大的复杂信号中，这些很难分析。这使得地球物理工程师吉恩·莫雷开发了时间窗来研究波，时间窗的长度取决于频率：宽窗用于信号的低频段，窄窗用于信号的高频段。

但这些窗口仍然包含了混乱的真实频率，很难分析。所以莫雷想用数学上很好理解的相似波来匹配每一部分。这让他能够掌握这些片段的整体结构和时间，并以更准确的方式探索它们。在20世纪80年代早期，莫雷将这些理想化的波浪模式命名为“ondelette”，法语的意思是“小波”。因此，信号可以被分割成更小的区域，每个区域以特定的波长为中心，并通过与匹配的小波配对进行分析。回到前面的例子，现在面对一堆现金，我们知道每一种钞票有多少了。

粗略地说，假设你在原始信号上滑动一个特定频率和形状的小波。每当你有一个特别好的匹配，它们之间的数学运算被称为点积就变成了零，或者非常接近于零。通过用不同频率的小波扫描整个信号，你可以拼凑出整个信号序列的完整图像，从而进行彻底的分析。

小波研究发展迅速。法国数学家伊夫·迈耶在复印机前等着轮到他时，一位同事向他展示了莫雷和理论物理学家亚历克斯·格罗斯曼合著的一篇关于小波的论文。迈耶立刻被迷住了，并乘坐火车去了马赛，在那里，他开始与格罗斯曼和莫雷以及数学家和物理学家英格丽德·多贝希斯一起工作。迈耶因为他在小波理论方面的工作而获得阿贝尔奖。

几年后，宾夕法尼亚州立大学研究计算机视觉和图像分析的研究生马拉特在海滩上偶遇了一位老朋友。这位朋友是迈耶在巴黎的研究生，他告诉马拉特他们关于小波的研究。马拉特立刻明白了迈耶的工作对他自己研究的重要性，并迅速与迈耶合作。1986年，他们发表了一篇关于小波在图像分析中的应用的论文。最终，这项工作导致了JPEG2000的发展，这是一种在世界各地使用的图像压缩形式。该技术用小波分析扫描图像的信号，以产生总体上比原始图像小得多的像素集合，同时仍然允许以原始分辨率重建图像。当技术限制限制了非常大的数据集的传输时，这种技术被证明是有价值的。

除了用于分析声音信号和图像处理外，小波也是基础研究的工具。它们可以让研究人员一次分析整个数据集，从而帮助他们发现科学数据中的模式。