相关系数r的计算公式

相关系数（Correlation coefficient）是用来衡量两个变量之间相关程度的一个统计量。通俗的说，相关系数是用来刻画两个变量之间相互关联关系的强度与方向的。本文将详细介绍相关系数的定义、计算公式以及其在实际应用中的运用。

一、相关系数的定义

在数学和统计学中，相关系数通常用来描述两个变量之间的线性关系。它的取值范围通常在[-1,1]之间，其值越接近于1或-1，则表明两个变量之间的线性关系越紧密。当相关系数为0时，则表明两个变量之间不存在线性关系。

相关系数的正负号通常表明了两个变量之间的方向关系。如果相关系数为正，则表明当一个变量变大时，另一个变量也随之增加。反之，如果相关系数为负，则表明当一个变量变大时，另一个变量会减小。

相关系数通常使用 r 这个符号来表示，其计算公式如下：

r= (n∑xy-∑x∑y) ÷ ((n∑x^2-(∑x)^2)(n∑y^2-(∑y)^2))^1/2

其中，x和 y 分别代表两个变量（或两个赋值列），n代表数据样本的数量，∑xy代表x和y对应的数据乘积之和，∑x和∑y分别表示x和y的数据之和，∑x^2与∑y^2分别代表x和y每个数据的平方和。

相关系数的值通常是[-1,1]之间的实数，当相关系数为 1 时，表明两个变量之间的线性关系紧密、正相关；当相关系数为 0 时，表明两个变量之间不存在线性关系或只存在很弱的线性关系；当相关系数为 -1 时，表明两个变量之间的线性关系紧密，但是是负相关。

二、相关系数的计算方法

计算相关系数的方法根据给定数据的形式（原始数据或数据表）和数据集的大小（样本或总体）有所不同。在这里我们将详细介绍两种计算方法。

1、原始数据计算法

在原始数据计算法中，我们需要先计算两个变量的均值，然后计算两列数据的协方差，最后再用协方差除以两个变量的标准差的乘积得到相关系数 r。

该方法的计算公式如下：

r = ∑(x- x') (y- y') ÷ [ (∑(x- x')^2∑(y- y')^2)^(1/2)]

其中，x和y分别表示两个变量的数据集，x'和y'分别表示两个变量的均值。

举例来说，假如我们要计算一个公司的销售额与广告投入之间的相关系数。我们收集到了公司过去一段时间的销售额和广告费用（如下表所示）：

步骤1：计算两个数据的均值：

x' = (100 110 105 120 115 125 130) / 7 = 114

y' = (50 55 60 72 68 75 80) / 7 = 64

步骤2：计算两个数据的协方差

s = ∑(x- x') (y- y') ÷ (n - 1)

= [(100-114) × (50-64) (110-114) × (55-64) (105-114) × (60-64) (120-114) × (72-64)