几何平均数是什么？

几何平均数（Geometric Mean）是数学中的一种重要概念，是指若干个正实数的积的 n 次方根，其中n是这些数的个数。几何平均数是对数据集的一种度量，能够反映数据集存在的平均变化率，常用于统计分析、金融投资等领域。本文将详细探讨几何平均数的定义、计算方法以及其在实际应用中的运用。

一、几何平均数的定义

几何平均数是一组正数的 n 个乘积每一个数的n次方根。其定义式如下：

设有n个正数a1、a2、.....、an，则这n个正实数的几何平均数G等于：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

将指数n常用于描述数据集的变化程度。举例来说，当n=2时，几何平均数成为一个数对的谐均值。当n=3时，则是三个数的立方根。

几何平均数可以用来评估一组数据的典型变化率。乘性增长或减少甚至可以通过视觉展现成为加性增长或减少。通过对称性的展开，几何平均数也可以定义为以下形式：

G=（a/1）x（b/a）x（c/b）......（n-1）/（n-2)

这种形式也可以证明几何平均数与其它平均数之间的关系，例如算术平均数和调和平均数。

二、几何平均数的计算方法

几何平均数的计算方法主要分为常规计算方法和对数计算方法。

1、常规计算方法

几何平均数的常规计算方法是简单地将乘积每一个数的n次方根相乘，即：

G=(a1*a2*.....an)^1/n

例如，一个品种的股票在连续的 7 天内分别上涨了 5%、6%、8%、4%、3%、5% 和 2%。此时，7天内这个品种的收益率的几何平均数为：

G=((1 0.05)×(1 0.06)×(1 0.08)×(1 0.04)×(1 0.03)×(1 0.05)×(1 0.02))^1/7 - 1= 0.0453\approx 4.53\%

2、对数计算方法

有时，我们会使用对数计算方法来计算几何平均数。使用对数的好处是可以将乘法转换为加法，使得计算过程更加容易。对于乘积 a1×a2×……×an (ai>0) 而言，有：